自動車用コンパウンドを活用してみてください。

ミラー磨きには、自動車用コンパウンド（仕上げ用）、あるいはクリームクレンザーがおすすめです。布だと液を吸ってしまうので、汚れた面に塗り付けてラップでこすりましょう。汚れが落ちたら、きれいに洗い流してカラ拭きをします。乾いたら自動車用の油膜取りスプレーをひと噴きしておくと、汚れの付着やくもりの防止になります。
また、普段のお手入れではなるべくカラ拭き仕上げをして、カルキ分を残さないようにしましょう。

※クレンザーを使用する際には、研磨材の量が多いものはお避けください。ミラー表面にキズが残る恐れがあります。